【题目】下面来做一个游戏，看看你对不定方程的解答是否熟练。
请你的朋友把他生日的日期乘以12，再把生日的月份乘以31，然后把两个数相加的结果告诉你。这时你就能推算出他的生日是几月几号。
比如，如果你朋友的生日是2月9日，那么他会这么计算：
9×12=108，2×31=62，
108+62=170
所以，他告诉你的结果是170。通过这个数值，你要推算出他的生日，该怎么做呢？
【解答】根据题意，有下面的方程
12x+31y=170
其中x和y都是正整数，并且
x≤31，y≤12
于是
其中
所以
2+5y=12t
从而
其中
所以
1-t=5t1
t=1-5t1
从而
而
0<x≤31,00<y≤12
所以，t1的取值范围是
由于t1是整数，所以t1只能取0，于是
x=9,y=2
所以，你朋友的生日是2月9日。
事实上，这个游戏总能成功，因为这个题目的解只有一个。假设把你朋友告诉你的结果记为a，那么，我们有下面的方程
12x+31y=a
这里，我们采取“反证法”。假设上面的方程有两个解，分别是x1，y1和x2，y2，其中，x1，y1不大于31，y1，y2不大于12。那么，有下面的等式
12x1+31y1=a
12x2+31y2=a
两式相减，得到
12(x1x2)+31(y1y2)=0
由于x1，x2，y1，y2均为整数，所以我们可以得出12(x1x2)可以被31整除。而x1,x2都不大于31，所以，（x1-x2）也小于31。从而，只有在x1=x2时，1212(xx)才能被31整除，也就是说，这两个解是相等的。这与前面的假设是矛盾的，换句话说，前面的方程有唯一的解。
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